Предположим, что прямые ab и ac не являются скрещивающимися, то есть они параллельны. Поскольку прямая ab не пересекает прямую a, она должна быть параллельна ей. Но так как ab и ac параллельны и не имеют общих точек с a, это означает, что прямые ab и ac также параллельны друг другу (если прямые параллельны третьей прямой, они параллельны друг другу).
Однако, если прямые ab и ac параллельны, то они должны иметь общую точку на бесконечности. Вспомним, что прямая a рассматривается бесконечно в обоих направлениях. Таким образом, вероятность того, что ab и ac пройдут через общую точку на бесконечности равна 1.
Следовательно, хотя бы одна из прямых ab и ac должна пересекать прямую a. Если ab и ac не являются параллельными, то они точно пересекают прямую a. Если они параллельны друг другу, то они есть общая точка на бесконечности.
Итак, мы доказали, что хотя бы одна из прямых ab и ac и прямая a всегда пересекаются (являются скрещивающимися)