Если  K ∈ α K∈α,  K ∈ β K∈β, то существует прямая  b b:  K ∈ b K∈b,  b ⊂ α b⊂α,  b / ⊂ β b / ​ ⊂β.

Дано:

– Множества α и β
– К принадлежит α и β

Требуется доказать, что существует прямая b, такая что K принадлежит b, b содержится в α и b не содержится в β.

Доказательство:
1. По определению, если K принадлежит α, то существует точка A принадлежащая α и линия a проходящая через точку A.
2. Аналогично, если K принадлежит β, то существует точка B принадлежащая β и линия b проходящая через точку B.
3. Поскольку K принадлежит и α, и β, то K совпадает с точкой А и с точкой В.
4. Значит, найдется прямая, которая проходит через точку K, так как K = A = B.
5. Пусть эта прямая называется b.
6. Так как K принадлежит α и β, то точка K также принадлежит множеству α.
7. Следовательно, прямая b лежит в множестве α, то есть b содержится в α.
8. Но так как K = A = B, прямая b не содержится в множестве β (так как B принадлежит β).
9. Таким образом, мы доказали, что существует прямая b, такая что K принадлежит b, b содержится в α и b не содержится в β.

Вывод: Таким образом, доказано, что если K принадлежит и α, и β, то существует прямая b, такая что K принадлежит b, b содержится в α и b не содержится в β.