Для решения задачи нам понадобятся следующие факты:
1. В кубе все ребра и диагонали перпендикулярны их плоскостям.
2. Диагонали граней куба перпендикулярны друг другу.
Доказательство:
1. Из условия задачи известно, что ребро А1B1 перпендикулярно диагонали B1С грани ВСС1B1, то есть CD, как и все ребра куба, перпендикулярно грани ВСС1B1.
2. Также из условия задачи известно, что диагональ АС перпендикулярна диагонали BD основания ABCD. Но основание ABCD является гранью куба, а диагонали граней куба перпендикулярны друг другу, поэтому диагональ AC также перпендикулярна ребру BD.
3. Таким образом, ребро CD и ребро BD перпендикулярны основанию ABCD куба и перпендикулярны диагонали грани ВСС1B1, а значит, и самой плоскости грани ВСС1B1. Из факта 1 следует, что ребро CD и ребро BD перпендикулярны друг другу.
4. Таким же образом можно доказать, что ребро CD перпендикулярно и другим ребрам куба, а значит, все ребра CD, BD, AD, CD1, C1D1, A1D1 перпендикулярны основанию ABCD и диагонали грани ВСС1B1.
5. Таким образом, мы доказали, что ребро А1B1 перпендикулярно диагонали B1С грани ВСС1B1 и диагональ АС перпендикулярна диагонали BD основания ABCD в кубе ABCDA,B,C1D1.
Ответ: Задача доказана.