Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в 145 раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что оказалось внутри октаэдра. Какая доля (по объёму) куба осталась? Доведите дробь до несократимой и в ответе укажите сумму её числителя и знаменателя. Или, если ответ иррациональный (только в этом случае) запишите его

Задачу можно решить следующим образом:

1. Обозначим объем куба как V0.
2. Найдем объем октаэдра, который образуется, соединяя точки в центре каждой грани куба.
Октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Каждая сторона треугольника образована диагональю грани куба, и равна длине его стороны. Значит, площадь треугольника равна S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a – длина стороны куба.
Воспользуемся формулой объема октаэдра: V = (√2 * a^3) / 3.
Объем всех 8 треугольников составит 8 * V, или Vокт = (8 * √2 * a^3) / 3.
3. Увеличим объем октаэдра в 145 раз. Таким образом, новый объем октаэдра будет равен Vокт * 145.
4. Найдем новый объем куба, исключив из него объем октаэдра. Объем нового куба будет равен V1 = V0 – Vокт * 145.
5. Найдем долю (по объему), которая осталась от исходного куба.
Доля равна отношению нового объема куба к исходному объему куба: Доля = V1 / V0.
6. Для удобства расчетов, найдем сокращенную дробь, представив долю в виде несократимой.
Раскроем скобки в выражении для нового объема куба: V1 = V0 – (8 * √2 * a^3 * 145) / 3.
Нам нужно довести дробь V1 / V0 до несократимой.
Найдем наибольший общий делитель 8 * 145 и 3, он равен 1.
Поделим числитель и знаменатель на этот наибольший общий делитель: (8 * 145) / 3 = 8 * 145 / 3 = 11560 / 3.
Значит, сумма числителя и знаменателя равна 11560 + 3 = 11563.
7. Ответ: сумма числителя и знаменателя равна 11563.