Пусть O – центр окружности, а r – радиус окружности. Так как PT – касательная, то угол PTO прямой. Также, PT = PT’ и PA = PA’, поскольку они являются длинами секущих, проведенных из точки P до окружности.
Обозначим точку пересечения между PT’ и окружностью A’. По условию задачи, PT = 10 см и PA = 8 см. Также, PT’ и PA’ соответственно равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники PTO и POA’. Из этих треугольников мы можем получить следующее:
(PT’)² = (PO)² + (OT’)² (1)
(PA’)² = (PO)² + (OA’)² (2)
Мы знаем, что PT’ = PT = 10 см и PA’ = PA = 8 см. Из условия PT’ || PT и PA’ || PA следует, что углы POT’ и POA’ прямые. Поэтому рассматриваемые треугольники равны и (PO)² = (OT’)² = r², где r – радиус окружности.
Заменив (PO)² и (OT’)² на r² в уравнениях (1) и (2), получаем:
(PT’)² = 2r² (3)
(PA’)² = r² + (OA’)² (4)
Подставим PT’ = PT = 10 и PA’ = PA = 8 в уравнения (3) и (4):
10² = 2r² (5)
8² = r² + (OA’)² (6)
Из уравнения (5) получаем:
2r² = 100 (7)
Разделив оба равенства (7) на 2, получаем:
r² = 50 (8)
Таким образом, радиус окружности равен √50 или приблизительно 7.071 см.