Для исследования функции y=(4x-8)/(x-1)^2 находим ее область определения. Знаменатель функции не может равняться нулю, поэтому x-1 ≠ 0, откуда x ≠ 1. Таким образом, область определения функции – все значения x, кроме 1 (D = R{1}).
Далее исследуем функцию на существование пределов при x стремящемся к 1. Вычислим предел:
lim (x->1) (4x-8)/(x-1)^2.
Перед тем как сократить эту дробь, заметим, что (4x-8) = 4(x-2), поэтому предел можно записать как:
lim (x->1) 4(x-2)/(x-1)^2.
Теперь сокращаем на (x-1):
lim (x->1) 4(x-2)/(x-1) = lim (x->1) 4(x-2)/(x-1) = 4.
Таким образом, функция имеет вертикальную асимптоту x=1 и горизонтальную асимптоту y=4.
Также проанализируем поведение функции на интервалах [−∞, 1) и (1, ∞). Для этого рассмотрим предельное поведение функции на этих интервалах.
При x → -∞:
lim (x->-∞) (4x-8)/(x-1)^2 = -∞.
Получаем, что при устремлении x к минус бесконечности, значение функции также стремится к минус бесконечности.
При x → +∞:
lim (x->∞) (4x-8)/(x-1)^2 = 4.
Значит, при устремлении x к плюс бесконечности, значение функции стремится к 4.
Также определим точку пересечения функции с осями координат. Подставляя x=0, получим y = -8/1 = -8. Таким образом, функция пересекает ось ординат в точке (0, -8).
Таким образом, после проведения исследования функции y=(4x-8)/(x-1)^2 мы определили область определения функции, нашли асимптоты, проанализировали предельное поведение функции на интервалах и определили точку пересечения с осями координат.