Из точек С и D, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры к этой стороне, пересекающие вторую сторону угла в точках А и В соответственно. a) Докажите, что AC||BD. б) Найдите ZCAB, если ZABD = 55°.

a) Для начала докажем, что треугольники ДАС и ВВД подобны, где С – вершина острого угла, П проведены перпендикуляры к этой стороне, пересекающие другую сторону (таким образом, ДА пересекает сторону В угла в точке А, а ВВ пересекает сторону С угла в точке В).

Рассмотрим треугольник ДАС. Так как АD перпендикулярно стороне ВС угла, то угол АДС будет прямым. Аналогично, угол САД также будет прямым. Также, угол ДАС соответствует углу АВС, так как они оба конгруэнтны (поскольку они соответствующие углы).

Аналогично рассмотрим треугольник ВВД. Мы можем придти к тем же выводам: углы БВС и ДВВ прямые, углы ВВД и СВА равны.

Таким образом, по признаку подобия трегольников, треугольники ДАС и ВВД подобны. Из данного подобия следует, что отношение сторон прямоугольных треугольников ДАС и ВВД будут равны, то есть отношение ДА/ВВ = СА/ВД.

Теперь рассмотрим треугольники АСА’ и ВДB. В этих треугольниках у нас имеются две параллельные стороны (А’В и АС), так как они являются перпендикулярами к одной и той же прямой и пересекают другую сторону угла. Кроме того, углы АСА’ и ВДВ равны 90 градусам, так как они прямые. Таким образом, треугольники АСА’ и ВДВ будут подобны (по признаку подобия треугольников).

Теперь применим свойство подобных треугольников из треугольников АСА’ и ВДВ к подобным треугольникам ДАС и ВВД. Отношение сторон ВА/СД будет равным отношению сторон СА’/ВД. Но так как треугольники АСА’ и ВДВ подобны, то СА’/ВД = СА/ВД.

Таким образом, мы доказали, что ВА/СД = СА/ВД, что означает, что отношение сторон параллельных отрезков равно. Отсюда следует, что АС параллельно ВD.

б) Так как треугольники АСА’ и ВДВ подобны, то углы САС’ и ВДВ равны. Из геометрического свойства суммы углов треугольника следует, что угол CAB равен сумме углов САС’ и ZCAB.

У нас есть информация о значении угла ZABD: ZABD = 55 градусов. Поскольку СА перпендикулярна ВD, а ВА – перпендикуляр к СD, то углы ZADC и ZABC равны 90 градусам. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем вычислить угол ZCAD: 90 + ZABD + ZADC = 180.

Зная значения углов ZABD и ZADC, мы можем вычислить угол ZCAD:

90 + 55 + ZADC = 180
ЗADC = 35 градусов

Таким образом, мы можем вычислить угол ZCAB, используя формулу для суммы углов треугольника:

ZCAB = 180 – 90 – ZCAD = 180 – 90 – 35 = 55 градусов.

Итак, мы получили, что ZCAB = 55 градусов.