Пусть точка А находится вне окружности, а точки В, К и Р лежат на окружности (см. рисунок).
Пусть АР = х, тогда АК = 4/9 * х.
АВ – это диаметр окружности, поэтому AB = 2R, где R – радиус окружности. Поскольку точка В – касательная к окружности, угол BKA прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ: АК^2 + АВ^2 = ВК^2 (теорема Пифагора).
(4/9 * х)^2 + 12^2 = (х + ВК)^2.
Раскроем скобки и упростим равенство:
16/81 * х^2 + 144 = х^2 + 2х*ВК + ВК^2.
Поскольку треугольник ABВ – прямоугольный, ВК = ВА – КА. Подставим это равенство в предыдущую формулу:
16/81 * х^2 + 144 = х^2 + 2х*(ВА – КА) + (ВА – КА)^2.
Рассмотрим треугольник АВК – равнобедренный треугольник, поэтому ВА = ВК.
16/81 * х^2 + 144 = х^2 + 2х*(ВК – КА) + (ВК – КА)^2.
ВК = х + ВК – КА, поэтому:
16/81 * х^2 + 144 = х^2 + 2х*(х + ВК – КА) + (х + ВК – КА)^2.
Раскроем скобки и упростим равенство:
16/81 * х^2 + 144 = х^2 + 2х^2 + 2х*ВК – 2х*КА + ВК^2 + 2ВК*х – 2ВК*КА + КА^2.
Приведем подобные слагаемые и упростим равенство:
12х^2 – 2х^2 – 2х*ВК + 2х*КА – ВК^2 + 2ВК*КА – КА^2 = 0.
Теперь мы можем выразить КА через ВК:
10х^2 + 2х*ВК – ВК^2 = КА^2 – 2х*КА.
К сожалению, решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому будем использовать график или численные методы для его нахождения.