Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной равна 6 см. Найти длины перпендикуляра и наклонной, если угол между перпендикуляром и наклонной равен 30°.

Дано: угол между перпендикуляром и наклонной – 30°, длина проекции наклонной – 6 см.

Обозначим перпендикуляр как AB, а наклонную как AC. Пусть BC – проекция наклонной на плоскость. Также обозначим точку пересечения BC и перпендикуляра как D.

Заметим, что треугольник ABC – прямоугольный, так как AB – перпендикуляр к АС.

Таким образом, мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:
AB / BC = tg(угол ABC).

Из условия задачи, мы знаем длину проекции наклонной – 6 см. Это означает, что BC = 6 см.

Далее, поскольку угол между перпендикуляром и наклонной равен 30°, мы имеем tg(угол ABC) = tg(30°) = 1 / √3.

Используя эти данные, подставим значения в уравнение:
AB / 6 = 1 / √3.

Теперь найдем AB:
AB = (1 / √3) * 6 = 2√3 см.

Также, поскольку зависимость между AB, AC и BC это три стороны прямоугольного треугольника, можно использовать теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2.

Подставим значения:
AC^2 = (2√3)^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48.

Теперь найдем AC:
AC = √48 = 4√3 см.

Таким образом, длины перпендикуляра и наклонной равны 2√3 см и 4√3 см соответственно.