Из точки M, не принадлежащей плоскости гамма, проведены к ней равные наклонные MA MB и MC. Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите её центр.

Доказательство:
1. Пусть точка O – центр окружности, проходящей через основания наклонных (то есть основания отрезков AM, BM и CM). Нам нужно доказать, что точки A, B и C лежат на данной окружности.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку наклонные MA, MB и MC равны, они образуют равнобедренный треугольник, где AB = AC = BC.
3. Рассмотрим сегмент AOB. Равенство углов OAB и OBA сразу следует из равенства MA и MB.
4. Из условия равнобедренности треугольника ABC следует, что угол BAC равен углу ABC.
5. Таким образом, угол BAC также равен углу BOA. Это означает, что точка A лежит на окружности, проходящей через основания наклонных.
6. Точно так же можно показать, что и точки B и C лежат на этой окружности.

Найдем центр окружности:
7. Рассмотрим перпендикулярные биссектрисы углов BAC и ABC. Пусть точка O1 – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
8. Так как угол BAC равен углу ABC, то точка O1 лежит на биссектрисе угла BAC и ABC.
9. Рассмотрим другую биссектрису угла BAC и треугольник AOC. Пусть точка O2 – центр окружности, описанной около этого треугольника.
10. Так как AO = CO (по условию) и угол OAC равен углу OCA (так как наклонные равны), то точка O2 также лежит на этой биссектрисе.
11. Поскольку описанная окружность треугольника AOC и описанная окружность треугольника ABC лежат на одной биссектрисе угла BAC, их центры (то есть точки O1 и O2) совпадают.
12. Таким образом, центр окружности, проходящей через основания наклонных, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что основания наклонных лежат на одной окружности и нашли ее центр, который совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC.