Пусть сторона ромба равна а. Тогда, поскольку перпендикуляр делит сторону ромба на два отрезка, один из которых в 4 раза больше другого, длины этих отрезков будут a/5 и 4a/5 соответственно.
Поскольку диагонали ромба являются его биссектрисами, то точка их пересечения является центром ромба. Пусть O – центр ромба.
Требуется найти периметр ромба. Периметр ромба равен сумме длин его сторон. Чтобы найти стороны ромба, воспользуемся теоремой Пифагора.
Рассмотрим одну из половин стороны ромба, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, состоящего из половин одной из диагоналей ромба и одного из отрезков, на которые делится сторона ромба перпендикуляром.
В этом треугольнике катеты равны a/10 и 4a/10 = 2a/5, гипотенуза равна a/2. Согласно теореме Пифагора, верно следующее равенство:
(a/10)^2 + (2a/5)^2 = (a/2)^2
После преобразований получаем:
a^2/100 + 4a^2/25 = a^2/4
Домножим все слагаемые на 100, чтобы избавиться от дробей:
a^2 + 16a^2 = 25a^2
После преобразований получаем квадратное уравнение:
a^2 – 9a^2 = 0
-8a^2 = 0
a = 0
Так как сторона ромба не может быть равна нулю, полученное решение некорректно.
Следовательно, решения не существует.