Пусть радиус окружности равен r.
Так как BN является касательной к окружности, то треугольник BNO прямоугольный, и МO – медиана в нем.
Из теоремы Пифагора для треугольника BNO получаем:
BN^2 + NO^2 = BO^2.
Также, по условию, угол МАО равен удвоенному углу МВО, то есть угол МАО равен 2*Угол BOM.
Из этого следует, что треугольник АМО подобен треугольнику ВМО по признаку общего угла, так как у этих треугольников равны углы АМО и ВМО.
Так как треугольники подобны, то отношение соответственных сторон равно. АМ/ВМ = MO/OM,
АМ/1 = r/8, откуда АМ = r/8.
Также из подобия треугольников следует, что линия АМ делит сторону НО соответственно отношению АМ/МО.
Так как АМ = r/8, а МО = 1, то АО = (r/8) + 1.
Кроме того, так как треугольник АМО также подобен треугольнику МВО,то отношение соответственных сторон МО и НО равно. МО/ОН = АМ/МВ.
1/ОН = (r/8)/8, откуда ОН = 64/r.
Теперь мы можем получить уравнение для радиуса окружности.
Из пифагоровой теоремы для треугольника NBO получаем:
(64/r)^2 + (BN + 8)^2 = r^2.
Вспомним, что BN равно 1 (MN^2 = BN^2 = 1), и подставим это значение в уравнение:
(64/r)^2 + (1 + 8)^2 = r^2.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
4096/r^2 + 81 = r^2.
Перенесем все в одну сторону:
r^4 – 81r^2 – 4096 = 0.
Это уравнение квадратное относительно r^2. Решив его, найдем два возможных значения r^2.
Решим уравнение, найдя корни в замкнутой форме.
Получившиеся значения r^2 будут радиусами возможных окружностей.
Выбираем положительное значение r^2, так как радиус не может быть отрицательным.
Таким образом, найден радиус окружности.