Пусть центр окружности находится в точке O, а точка касания касательной с окружностью обозначена как A. Также пусть точка вне окружности обозначена как B.
Расстояние от точки B до окружности равно 10 см, поэтому отрезок OB является перпендикуляром к касательной AO.
Обозначим радиус окружности как r.
Так как AO является касательной, то AO и AB – перпендикулярные отрезки. В свою очередь, AB является биссектрисой треугольника OAB. Обозначим точку пересечения биссектрисы с отрезком OB как M.
Так как AM – биссектриса треугольника OAB, то AM делит сторону OA на отрезки в пропорции, равной отношению длин сторон треугольника OAM и OAB.
Треугольник OAM – прямоугольный, поэтому применяя теорему Пифагора, получаем соотношение AO^2 = AM^2 + OM^2.
Также из того же треугольника OAM получаем, что AM = OM * (OA/OB).
Заменив значение AM в первом соотношении, получаем:
AO^2 = (OM * (OA/OB))^2 + OM^2.
Подставим значение OB = 10 и AO = OA + 10 (так как точка B находится на 10 см дальше от окружности), тогда:
AO^2 = (OM * ((OA)/(10)))^2 + OM^2.
Так как точка O является центром окружности, то OM = r.
Подставим значение AO = r + 10, тогда:
(r + 10)^2 = (r * ((r + 10)/(10)))^2 + r^2.
Упростим это уравнение:
(r + 10)^2 = (r * (r + 10))^2/100 + r^2.
Разложим это уравнение и приведем его к квадратному виду:
(r + 10)^2 * 100 = r^2 * (r + 10)^2 + 100 * r^2.
r^2 * 100 + 2000 * r + 10000 = r^4 + 20 * r^3 + 100 * r^2 + 100 * r^2.
r^4 + 20 * r^3 + 100 * r^2 + 10000 – r^2 * 100 – 2000 * r = 0.
r^4 + 20 * r^3 – r^2 * 100 – 1900 * r + 10000 = 0.
Решим это уравнение численно или геометрически, чтобы найти значение радиуса r.