Для начала проведем перпендикуляр AB’ из точки B на сторону AC. Обозначим точку их пересечения как H.
Так как AM является биссектрисой угла ABF, то точки B, H и F лежат на одной прямой и BH является биссектрисой угла ABC. Также, так как AK перпендикулярен AM, то угол BAK является прямым углом и треугольник ABK прямоугольный.
Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольникам ABC и ABK:
AC^2 = BC^2 + AB^2 (1)
AK^2 = BK^2 + AB^2 (2)
Заметим, что из угла ABC, BAH и BAK являются прямыми углами, и BH является общей стороной. Таким образом, по теореме Пифагора:
BC^2 = AH^2 + BH^2 (3)
BK^2 = AK^2 + AH^2 (4)
Сложим уравнения (1) и (3):
AC^2 + BC^2 = (AH^2 + BH^2) + (BC^2 + AB^2)
AC^2 + BC^2 = (AH^2 + BC^2) + (BH^2 + AB^2)
Так как AH^2 + BC^2 > BC^2 + AB^2 (так как AH > AB), а BH^2 + AB^2 = AK^2 (по уравнению (2)), то получаем:
AC^2 + BC^2 > AK^2 + BC^2
Таким образом, AC^2 > AK^2 и, следовательно, AC > AK.
Заметим, что стороны треугольника AKC меньше, чем стороны треугольника ABC, за исключением стороны AC. Таким образом, периметр треугольника AKC больше, чем периметр треугольника ABC.