К плоскости квадрата ABC D со стороной 4 см через точку пересечения диагоналей О проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата. На прямой отложен отрезок ОК длиной 9 см. Рассчитай расстояние от точки К к вершинам квадрата (результат округли до десятых).

Пусть точка О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Пусть K – конечная точка отрезка ОК.

Возьмем точки A’, B’, C’, D’ – проекции вершин квадрата на плоскость, перпендикулярную квадрату. Диагональ квадрата ABCD делит ее пополам, поэтому каждая из сторон будет перпендикулярна диагонали. Точки A’, B’, C’, D’ будут лежать на отрезке OK и делить его пополам.

Так как длина OK равна 9 см, то OK = OA’ + A’K = OB’ + B’K = OC’ + C’K = OD’ + D’K.

Также, так как A’B’C’D’ – прямоугольник, то A’C’ и B’D’ являются диагоналями этого прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны между собой, поэтому расстояния A’O и B’O равны расстоянию C’O и D’O, а значит, OA’ = OB’ = OC’ = OD’.

Таким образом, OK = OA’ + A’K = OA’ + B’K = OA’ + C’K = OA’ + D’K.

Чтобы найти A’K, B’K, C’K и D’K, нужно найти длину OA’ и просто разделить ее пополам. Расстояние от точки к вершинам квадрата будет являться половиной диагонали A’B’C’D’.

Найдем диагональ A’B’C’D’. Пусть E – середина стороны AB. Тогда треугольник OEB является прямоугольным с катетами по 2 см и гипотенузой A’O = OD’. Используя теорему Пифагора, получим:

(A’B’)^2 = (2 см)^2 + (2 см)^2 = 8 см^2,

A’B’ = sqrt(8 см^2) = 2sqrt(2) см.

Таким образом, расстояние от точки K до вершин квадрата будет половиной диагонали A’B’C’D’, то есть:

AK = BK = CK = DK = (1/2) * A’B’ = (1/2) * 2sqrt(2) см = sqrt(2) см.

Ответ: расстояние от точки К до вершин квадрата равно sqrt(2) см (округлено до десятых).