КА – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. М – середина стороны ВС. Известно что КМ перпендикулярен ВС. а) Докажите что треугольник АВС равнобедренный б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ. с) Найдите площадь треугольника АВС, если угол ВКС =60, ВС – 6 см, КА – 3√2 см.

а) Для доказательства равнобедренности треугольника АВС, нам нужно показать, что АВ = АС.

Известно, что КМ перпендикулярен ВС и М – середина ВС. Значит, КМ – высота треугольника ВКС, и поэтому ВК = КС.

Теперь рассмотрим треугольник АКМ. Заметим, что КА – общая сторона у треугольников АКМ и СКВ. Кроме того, угол КАМ является прямым углом, так как ВК перпендикулярен ВС и КМ перпендикулярен ВС, поэтому АК и КМ пересекаются под прямым углом.

Таким образом, по стороне-противоположной прямому углу получаем, что АК = КМ. Но КМ = ВК, поэтому АК = ВК.

Таким образом, получаем, что АК = ВК = КС, что значит, что треугольник АВС является равнобедренным.

б) Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ, нужно показать, что вектора НВС и НАМ перпендикулярны, где Н – точка пересечения линий КА и ВС.

Из равнобедренности треугольника АВС следует, что также и углы НАМ и ВНС равны, так как они соответственные. Из равенства углов следует, что их смежные стороны параллельны (так как углы соответственные), а значит и вектора НВС и НАМ параллельны друг другу.

Теперь рассмотрим треугольник КНМ. Так как углы НКМ и ВКС прямые (по условию), то угол ВКС и угол НКМ являются смежными углами. Из равенства углов следует, что их смежные стороны параллельны (так как углы соответственные), а значит и вектора КН и КВ параллельны друг другу.

Таким образом, получаем, что вектора НВС и НАМ, а также вектора КН и КВ параллельны друг другу. Значит, они перпендикулярны.

с) Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая записывается как (основание * высота) / 2.

Так как угол ВКС = 60 градусов, то треугольник ВКС является равносторонним. Значит, ВК = СК = ВС/2 = 6/2 = 3 см.

Теперь рассмотрим треугольник АКС. Мы знаем, что АК = ВК = 3 см, а угол КАС = 90 градусов (так как ВК перпендикулярно ВС). Значит, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы вычислить высоту треугольника АКС.

sin(КАС) = высота/АК
sin(90) = высота/3
1 = высота/3
высота = 3 см

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника АВС:

площадь = (основание * высота) / 2
площадь = (3 * 3) / 2
площадь = 9 / 2
площадь = 4,5 см²

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 4,5 см².