Каждый из отрезков MN и PS делится точкой О пополам. Докажите, что угол SMO равен углу PNO.2. На сторонах угла F отмечены точки S и T так, что FS=FT. Известно, что точка О лежит внутри угла F и OS=OT. Докажите, что луч FO – биссектриса угла SFT.3. Сумма вертикальных углов MON и ROT, образованных при пересечении прямых MN и RT, равна 160 градусов. Найдите угол NOT

Докажем каждое утверждение по очереди:

1. Рассмотрим треугольники SMO и PNO. Так как точка О делит отрезок MN на равные части, то ON=OM. Аналогично, так как точка О делит отрезок PS на равные части, то OS=OP. Также, из условия задачи известно, что OS=OT. Из этих равенств следует, что треугольники SMO и PNO равны по стороне-стороне-стороне (ОС – общая сторона, а сторонами равенства являются равные отрезки OS и ON, а также OP=OM). Следовательно, угол SMO равен углу PNO.

2. Рассмотрим треугольник SFT. Так как FS=FT, то угол TFS равен углу TFS по стороне-стороне-стороне. Поскольку OS=OT, то у треугольников OST и OTS также равны соответственные углы. Таким образом, углы OST и OTS равны. Из этого следует, что треугольники OTS и STF равны по двум сторонам и углу между ними (ST- общая сторона, а углы OTS и STF равны). Следовательно, угол OTF равен углу OSF. Но так как угол OSF и угол STF являются противолежащими углами при равных сторонах, то они равны между собой. Следовательно, угол OTF равен половине угла SFT. То есть, луч FO является биссектрисой угла SFT.

3. Сумма вертикальных углов равна 180 градусов. Из этого следует, что угол MON + угол ROT = 180 градусов. Но так как угол MON и угол ROT являются вертикальными углами, то они равны между собой. Таким образом, угол MON = угол ROT = 80 градусов. Следовательно, угол NOT, как сумма углов MON и ROT, равен 80+80=160 градусов.