Доказать, что ОЕ || ВВ1C.
Пусть О – центр куба ABCDA1B1C1D1 и F – точка пересечения отрезков ОЕ и ВВ1C.
1. Вспомним, что О – центр куба. Это означает, что отрезки ОА, ОВ и ОС равны и являются радиусом окружности, описанной около основания куба ABCD.
2. Так как ОЕ – медиана треугольника АВ1С, то ОЕ делит его пополам. Значит, ОЕ = ЕF.
3. ОЕ также равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВ1С.
4. Поскольку ОВ = ОС и ОВ = ОЕ = ОС, то треугольник ОВС является равнобедренным.
5. В равнобедренном треугольнике основания равны, а также углы при его основании равны. Поэтому угол ОВF равен углу ОСF.
6. Как уже было установлено, ОЕ = ЕF, а также угол ОВF = углу ОСF.
7. Значит, по двум сторонам и углу треугольника ОВF равен треугольнику ОСF.
8. Следовательно, ОВ = ОС = ОЕ, а угол ОВЕ = углу ОСЕ.
9. Раз угол ОВЕ = углу ОСЕ и стороны ОВ и ОС равны, то треугольники ОВЕ и ОСЕ равнобедренные.
10. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. А значит, угол ОЕВ равен углу ОЕС.
11. Но угол ОЕВ равен углу ОС1B1, так как ОЕ || ВВ1C.
12. Следовательно, угол ОС1B1 равен углу ОЕС.
13. Так как угол ОЕС равен углу ОС1B1, а сторона ОС1B1 равна стороне ОС1B, то треугольники ОС1B1 и ОВС1 равны.
14. Поскольку треугольники ОС1B1 и ОВС1 равны, то их стороны пропорциональны.
15. Это значит, что они подобны, и ОЕ || ВВ1C.
Таким образом, мы доказали, что ОЕ || ВВ1C.