На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для доказательства этого утверждения, воспользуемся неравенством треугольника.
1. Предположим, что M и P лежат на одной стороне четырехугольника. Тогда расстояние между M и P будет равно длине этой стороны, которая, очевидно, меньше половины периметра четырехугольника. Задача решена.
2. Рассмотрим случай, когда M и P лежат на противоположных сторонах четырехугольника. Введем точку Q на середине отрезка MP. Так как M и P лежат внутри четырехугольника, то отрезок MP лежит полностью внутри четырехугольника, и следовательно, точка Q также лежит внутри четырехугольника.
3. Рассмотрим два треугольника MQP и MPQ. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. В данном случае, длины сторон треугольников MQP и MPQ равны и равны половине расстояния между M и P. Следовательно, сумма длин сторон MQ и PQ больше длины стороны MP.
4. При этом, стороны треугольника MQ и PQ являются отрезками, соединяющими M и P с вершиной Q, которая лежит внутри четырехугольника. Значит, эти отрезки также лежат внутри четырехугольника.
5. Таким образом, расстояние между M и P (длина отрезка MP) больше суммы длин сторон MQ и PQ. Сумма длин сторон MQ и PQ меньше половины периметра четырехугольника.
6. Итак, мы доказали, что для любого расположения точек M и P внутри четырехугольника, расстояние между ними меньше половины периметра четырехугольника.
