Пусть сторона MN равна х. Так как треугольники подобны, то отношение длин сторон одного треугольника к длинам соответственных сторон другого треугольника равно.
Отношение длин сторон MN к M₁N₁ равно отношению площадей треугольников MNL и M₁N₁L₁.
Площадь треугольника равна половине произведения длин стороны на синус угла между этой стороной и той, на которую спускается высота.
Площадь треугольника MNL равна (1/2) * MN * NL * sin(MN, NL).
Площадь треугольника M₁N₁L₁ равна (1/2) * M₁N₁ * N₁L₁ * sin(M₁N₁, N₁L₁).
Таким образом, мы имеем уравнение:
(1/2) * х * NL * sin(MN, NL) = (1/2) * 42 * N₁L₁ * sin(M₁N₁, N₁L₁).
Сокращаем обе части уравнения на (1/2):
х * NL * sin(MN, NL) = 42 * N₁L₁ * sin(M₁N₁, N₁L₁).
Подставляем данные:
х * NL * sin(MN, NL) = 42 * N₁L₁ * sin(M₁N₁, N₁L₁).
Мы знаем, что площадь треугольника MNL равна 161,28 см² и площадь треугольника M₁N₁L₁ равна 252 см².
Подставляем это в уравнение:
х * NL * sin(MN, NL) = 42 * N₁L₁ * sin(M₁N₁, N₁L₁).
х * NL * sin(MN, NL) = 42 * 252 * sin(M₁N₁, N₁L₁).
х * NL * sin(MN, NL) = 10584 * sin(M₁N₁, N₁L₁).
Теперь мы можем решить это уравнение, пренебрегая синусом угла, так как мы ищем только значение стороны MN:
х * NL = 10584.
Таким образом, длина стороны MN равна 10584/ NL.