Для начала, построим рисунок с данными условиями задачи.
Так как MT || BC, то треугольники MOT и COB подобны.
По свойству подобных треугольников имеем:
MO/OC = TO/OB.
Так как PT || MO и PB || OB, то треугольники PTO и PBO также подобны.
Получаем соотношение:
PT/OT = PB/OB.
Заметим, что PT = PO+OT и OB = OT + BT.
Подставим эти значения в полученное соотношение и получим:
(PO+OT)/OT = PB/(OT+BT).
Выразим BT из этого уравнения:
(PO+OT)*(OT+BT) = PB*OT,
PO*OT + OT^2 + PO*BT + BT*OT = PB*OT,
BT*OT + PO*BT + OT^2 = PB*OT – PO*OT,
BT = (PB*OT – PO*OT – OT^2) / OT.
Теперь, обратимся к треугольникам OCB и OMT.
По свойству подобных треугольников имеем:
OC/OM = BC/TM.
Заметим, что OC = OB + BC и OM = OT + TM.
Подставим эти значения в полученное соотношение и получим:
(OB + BC)/(OT + TM) = BC/TM.
Упростим это уравнение, учитывая, что BC = BT + TC:
(OB + BT + TC)/(OT + TM) = (BT + TC)/TM,
OB + BT + TC = (BT + TC)*(OT + TM)/TM,
OB = (BT + TC)*(OT + TM)/TM – BT – TC,
Так как BM = OB – OC, то
BM = (BT + TC)*(OT + TM)/TM – BT – TC – (OB – BC),
BM = (BT + TC)*(OT + TM)/TM – BT – TC – (OT + TM – OB),
BM = (BT + TC)*(OT + TM)/TM – BT – TC – OT – TM + OB,
BM = (BT + TC)*(OT + TM – TM)/TM – BT – TC – OT – TM + OB,
BM = (BT + TC)*(OT/TM) – BT – TC – OT – TM + OB.
Теперь мы можем вычислить BM и OK, используя значения OT, BT, TC, и OB, которые нам уже известны.