Для доказательства равенства ВН = ВД воспользуемся свойством высоты треугольника.
1. Пусть точка М – середина стороны АС, а точка Н – середина стороны ВС.
2. Так как треугольник АВС равнобедренный, то БМ – медиана, проведенная к основанию АС, и ВД – высота, опущенная из вершины В.
3. Заметим, что треугольники ВМН и ВДМ равнобедренные, так как ВМ = ВН (по условию) и БМ = ДМ (как медиана, проведенная к стороне АС).
4. Также видим, что у этих треугольников равны два угла: угол МВН равен углу МДВ, так как это соответственные углы при параллельных прямых ВН и МД.
5. Из равенства сторон и равенства двух углов следует, что треугольники ВМН и ВДМ равны по двум сторонам и одному углу.
6. Значит, они равны в целом.
7. Из равенства треугольников ВД и ВН следует равенство их сторон: ВН = ВД.
Таким образом, мы доказали, что ВН = ВД, что и требовалось доказать.