Возьмем произвольную точку M на медиане треугольника, проведенной к основанию. Обозначим точки основания треугольника как A и B, а точку, в которой медиана пересекает основание – как K.
Чтобы доказать, что концы отрезков, отложенных на боковых сторонах треугольника, одинаково удалены от точки M, мы докажем, что отрезки MA и MB равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники MAK и MBK. Так как M находится на медиане, то отношение MA к MK равно 1:2, а отношение MB к MK также равно 1:2.
Теперь рассмотрим равносторонний треугольник AMB. Две его стороны, AM и BM, равны по условию задачи. Также, угол при вершине треугольника AMB равен 60 градусов.
Путем построения биссектрисы угла AMB получим, что отрезок MK делит угол AMB на две равные части, и эти части равны 30 градусам каждая.
Таким образом, мы получаем равноугольный треугольник MKA и равноугольный треугольник MKB. В этих треугольниках соответствующие стороны равны, и, следовательно, мы получаем, что отрезки MA и MB равны.
Таким образом, мы доказали, что концы отрезков, отложенных на боковых сторонах равнобедренного треугольника от вершин основания, одинаково удалены от любой точки, лежащей на медиане, проведенной к основанию треугольника.