Доказательство:
Пусть точка P лежит на диагонали AC, а точка Q лежит на диагонали BD.
Рассмотрим треугольники KPN и QMK.
Так как прямые KN и MQ параллельны, то по свойству параллельных прямых имеем: угол PKN = угол MQK.
Аналогично, так как прямые QN и MK параллельны, то угол QNK = угол MKQ.
Также, угол KNM = угол MKP, так как эти углы соответственные при параллельных прямых.
Итак, у нас есть два треугольника KPN и QMK, у которых углы PKN и MKQ равны, а углы QNK и KNM также равны.
Таким образом, по двум углам одного треугольника равным двум углам другого треугольника (углы при вершине), эти треугольники подобны (по признаку подобия треугольников).
Из подобия треугольников KPN и QMK следует, что отношение соответствующих сторон равно. То есть, KP / QM = KN / MK = PN / QK.
Обратим внимание, что PN = KM и QK = KN, так как эти отрезки являются параллельными сторонами трапеции ABCD.
Тогда у нас получается KP / QM = KN / MK = KN / QK.
Переставим члены и упростим: KP / QK = KN / QM.
Теперь заметим, что по построению точка M лежит на отрезке AC, а значит, QM + MK = QK.
Также, точка M лежит на отрезке BD, а значит, KN + MQ = NK.
Используя эти равенства, перепишем равенство KP / QK = KN / QM в виде: KP / (QK-QM) = KN / (NK-KN).
Упростим еще раз: KP / MK = KN / NK.
Пользуясь тем, что PN = KM и QK = KN, можно упростить еще немного: KP / PN = QK / KN.
Итак, мы получили, что KP / PN = QK / KN.
Это значит, что отрезки KP и QN действительно равны.
Таким образом, мы доказали, что отрезки KP и QN равны.