Пусть точки на диаметре окружности радиуса R обозначены как A и B, а третья точка, соединяющая концы хорды, обозначена как C.
Проведем радиус AO, где O – центр окружности. Так как точки A и B равноудалены от центра, то AO и BO будут равными отрезками.
Рассмотрим треугольник AOC. В нем два одинаковых радиуса AO и CO и общая сторона AC.
Так как треугольники AOC и COB равнобедренные, и AC совпадает с BC, можно сделать вывод, что треугольник COB также равнобедренный. Из этого следует, что угол АСО равен углу BCO, а угол ACO равен углу BOC.
Рассмотрим сумму квадратов сторон полученного треугольника ABC:
AB^2 + AC^2 = AB^2 + BC^2 = (AO + OB)^2 + BO^2 = AO^2 + 2 * AO * OB + OB^2 + BO^2 = AO^2 + BO^2 + AO^2 + OB^2 + 2 * AO * OB = 2 * (AO^2 + OB^2) + 2 * AO * OB = 2 * (AO^2 + AO * OB + OB^2).
Так как AO и OB равны, можно заменить AO * OB на (AO^2 + OB^2). Получим:
2 * (AO^2 + AO * OB + OB^2) = 2 * (AO^2 + AO^2 + OB^2) = 2 * (2 * AO^2 + OB^2).
Заметим, что 2 * AO^2 + OB^2 является суммой квадратов сторон полученного треугольника при другой выборе хорды. Таким образом, мы показали, что сумма квадратов сторон полученного треугольника не зависит от выбора хорды.