На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AK : KB = 3 : 2. На продолжении отрезка CK за точку K нашлась точка M такая, что угол AMB равен 90 градусов. Найдите длину отрезка AM, если AB = 13.

Пусть AB = c, AK = 3x и KB = 2x. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

c^2 = (3x)^2 + (2x)^2
c^2 = 9x^2 + 4x^2
c^2 = 13x^2

Отсюда находим x:

x^2 = c^2 / 13
x = c / √13

Теперь мы можем найти длину отрезка AM. Обозначим её за d. Так как треугольник ABC – прямоугольный, то AM является высотой, опущенной из прямого угла:

d = (AK * KB) / c
d = (3x * 2x) / c
d = 6x^2 / c

Подставляем значение x:

d = 6 * (c / √13)^2 / c
d = 6c^2 / 13

Таким образом, длина отрезка AM равна 6c^2 / 13.

В данном случае, когда AB = 13, подставляя это значение в формулу для d, получаем:

d = 6 * 13^2 / 13
d = 6 * 13
d = 78

Таким образом, длина отрезка AM равна 78.