на клетчатой бумаге нарисовали многоугольник, вершины которого лежат в узлах а стороны не проходят по ее линиям Докажите что сумма всех горизонтальных отрезков сетки равна сумме всех вертикальных

Пусть дан многоугольник на клетчатой бумаге, вершины которого лежат в узлах сетки, а стороны не проходят по ее линиям. Нам нужно доказать, что сумма всех горизонтальных отрезков сетки равна сумме всех вертикальных.

Для начала заметим, что каждая вертикальная линия пересекает многоугольник один раз, так как вершины многоугольника лежат в узлах сетки. Поэтому количество вертикальных отрезков равно количеству вертикальных линий, которые пересекают многоугольник.

Аналогично, каждая горизонтальная линия также пересекает многоугольник один раз. Поэтому количество горизонтальных отрезков равно количеству горизонтальных линий, которые пересекают многоугольник.

Заметим также, что каждая вертикальная линия пересекает каждую горизонтальную линию ровно один раз. Это следует из того, что стороны многоугольника не проходят по линиям сетки. Таким образом, каждый горизонтальный отрезок пересекает каждую вертикальную линию ровно один раз.

Теперь рассмотрим сумму длин всех вертикальных отрезков. Пусть всего вертикальных отрезков N, тогда каждый вертикальный отрезок имеет длину 1/N, так как каждая вертикальная линия пересекает многоугольник один раз.

Аналогично, сумма длин всех горизонтальных отрезков равна 1/N, где N – количество горизонтальных отрезков.

Таким образом, сумма всех горизонтальных отрезков сетки равна сумме всех вертикальных отрезков, что и требовалось доказать.