На окружности $$Omega$$ радиуса $$sqrt{37}$$ последовательно расположены точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$, $$S$$ так, что $$QSperp PR$$. Известно, что $$PS:RS=6:1$$, а в четырёхугольник $$PQRS$$ можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника и длину биссектрисы $$QB$$ треугольника $$PQR$$.

Обозначим центр окружности, вписанной в четырехугольник PQRS, через O. Так как точки P, Q, R и S лежат на окружности Omega, то окружность O радиуса r = RQ = RS = PS касается отрезков PQ, QR и PS.

Рассмотрим треугольник ORQ. Так как QS ⊥ PR, то треугольник ORQ является прямоугольным. Более того, точка O – это середина дуги QR, не содержащей точки S. Из этого следует, что ∠QOR = ∠QSR.

Применим свойства биссектрисы треугольника для угла ∠QOR. Пусть точка M – это точка пересечения биссектрисы треугольника PQR и отрезка QS. Тогда ∠QOM = 1/2 ∠QOR = 1/2 ∠QSR, а также OM = OQ = r.

Так как PS/RS = 6/1, а PS + RS = 7r, то PS = 6r и RS = r. Поэтому PM/MS = PS/RS = 6/1.

Заметим, что треугольники MQO и MRO равны по двум сторонам и углу между ними, так как MQ = MR (так как OM = OQ = r) и ∠QOM = ∠ROM = 1/2 ∠QSR.

Следовательно, ∠MQR = ∠MQO – ∠OQR = ∠MRO – ∠OQR ≡ ∠MQR. Значит, ∠MQR = ∠MRQ.

Так как треугольник MQR является равнобедренным, то ∠QMR = ∠QRM.

Обозначим ∠QOM = β. Тогда ∠QOR = 2β и ∠OQR = β.
Обозначим ∠MQR = ∠MQO – ∠OQR = α.

Так как ∠QMR = ∠QRM = 180° – 2α, следовательно, β = α – 60°.

Теперь мы можем найти углы треугольника QOM.
∠QOM = β = α – 60°.
∠OMQ = ∠OQR + ∠QOM = β + β = 2β.

Так как ∠QOM + ∠OMQ + ∠MQO = 180°, то имеем: α – 60° + 2β + α = 180°.
Отсюда α + β = 120°. Следовательно, α = 120° – β.

Теперь можно найти площадь четырехугольника PQRS.
Площадь четырехугольника PQRS можно выразить так: S(PQRS) = S(PQO) + S(QRO) = 2S(QOM) = 2*1/2*r*r*sin(2β) = r^2*sin(2β).

Теперь найдем длину биссектрисы QB треугольника PQR.
Мы можем рассматривать треугольник QRS, так как ∠MQS = 90°, а ∠MQR = α.

Так как RS = r и ∠QRS = 2β, то мы можем найти QM, используя теорему синусов:
sin(2β) = RS/QM => QM = RS/sin(2β) = r/sin(2β).

Теперь мы можем найти QB, используя теорему синусов для треугольника PQR:
QB = 2*QM*sin(α/2) = 2*(r/sin(2β))*sin(α/2).

В итоге, мы нашли площадь четырехугольника PQRS, выраженную через β, и длину биссектрисы QB треугольника PQR, выраженную через α и β. Окончательные значения β и α мы можем найти, выразив их через r:
α = 120° – β, β = α – 60°.
Итак, мы составили математическую модель и нашли формулы, которые позволяют найти искомую площадь и длину биссектрисы треугольника PQR.