На окружности отмечены точки A, B и C (точка B лежит на меньшей дуге AC), а внутри окружности – точка D. Оказалось, что ∠ABD=90∘,AD=CD. Найдите угол BAC, если ∠ADB=40∘, а ∠BDC=110∘. Запишите ответ в градусах.

Обозначим центр окружности как O. Поскольку AD = CD, окружность с центром в точке D и радиусом DA равна окружности с центром в точке C и радиусом CD.

Таким образом, отрезок DO будет являться перпендикуляром к отрезку AC, так как это будет хорда, проведенная через центр окружности под прямым углом к диаметру.

Треугольник ADB – прямоугольный, с прямым углом BDA. Значит, угол ABD = 90 – 40 = 50 градусов.

Также, треугольник CDB – прямоугольный, с прямым углом DCB. Значит, угол BDC = 90 – 110 = -20 градусов (мы измеряем угол против часовой стрелки).

Запишем угол DAB и угол BCA через угол BDC:

Угол DAB = угол ABD – угол ADB = 50 – 40 = 10 градусов.
Угол DBC = – угол BDC = 20 градусов.

Теперь найдем угол BAC, используя свойство, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

угол BAC = угол DAB + угол BCA = 10 + 20 = 30 градусов.

Итак, угол BAC равен 30 градусам.