Обозначим точку касания окружности с стороной BC как D, а точку деления стороны AB точкой N. Также обозначим отношение, в котором точка M делит сторону AC, как p:1, где p – некоторое положительное число.
Так как треугольник ABC – равнобедренный, то AD – биссектриса угла BAC. Также, как и в равнобедренном треугольнике, сумма длин сторон, инцидентных углу, равна сумме длин двух оставшихся сторон. В нашем случае это AC = AM + MC и AB = AN + NB.
Известно, что окружность с диаметром AM касается стороны BC, значит, длина отрезка DM равна длине отрезка CM. Также, так как DM является биссектрисой угла BAC, то BN/ND = BA/AD. Используя это отношение, запишем соотношение для отрезков AN и ND: AN/ND = AB/BD. Заметим, что BD = BM + MD, а также, что BM = (AM + MC) / (p + 1), так как точка M делит сторону AB в отношении 3:1. Подставим эти значения в предыдущее выражение: AN/ND = AB/(BM + MD), или, раскрывая знаменатель, AN/ND = AB/[(AM + MC)/(p + 1) + MD].
Также, согласно условию, AB = 3AN. Подставим это в предыдущее выражение и преобразуем его: 3AN/ND = 3AN/[(AM + MC)/(p + 1) + MD]. Упростим это выражение, умножив обе части на ND: 3AN = 3AN + 3ND[(AM + MC)/(p + 1) + MD]. Удалим одинаковые члены с обеих сторон уравнения: 0 = 3ND[(AM + MC)/(p + 1) + MD]. Так как ND > 0, а (AM + MC)/(p + 1) + MD > 0, то получаем (AM + MC)/(p + 1) + MD = 0.
Теперь выразим MD из последнего уравнения: MD = -(AM + MC)/(p + 1). Подставим это значение в исходное равенство: MC = MD + (AM + MC)/(p + 1), или, раскрывая скобки и преобразуя, MC = -(AM + MC)/(p + 1) + (AM + MC)/(p + 1). Удалим одинаковые члены с обеих сторон: 0 = -(AM + MC)/(p + 1) + (AM + MC)/(p + 1). Раскроем скобки и упростим выражение: 0 = 0.
Таким образом, получается, что p не влияет на положение точки M на стороне AC. Точка M делит сторону AC в том же отношении 3:1, как и сторону AB.
