Пусть точка F – середина отрезка AC. Рассмотрим треугольники CBF и EAF.
1. В треугольнике CBF:
а) Отрезок BF – медиана, поэтому он делит сторону CD пополам.
б) Отрезок BC равен половине отрезка AK (по условию), то есть BC = AK / 2.
в) Равные углы CBD и KAE (по условию), поэтому треугольники CBD и KAE подобны.
г) Значит, отрезки BF и EF тоже делятся в одном и том же отношении (по теореме о построении отрезка на медиане), то есть BF / BC = EF / AE.
2. В треугольнике EAF:
а) Отрезок AF – медиана, поэтому он делит сторону EK пополам.
б) Отрезок AE равен половине отрезка CD (по условию), то есть AE = CD / 2.
в) Треугольники CBD и KAE подобны (по условию), поэтому равны и углы AEF и FBC.
г) Значит, отрезки AF и EF тоже делятся в одном и том же отношении (по теореме о построении отрезка на медиане), то есть AF / AE = EF / EK.
3. Из пункта 1 следует, что BF / BC = EF / AE.
4. Из пункта 2 следует, что AF / AE = EF / EK.
5. Сравнивая полученные равенства, получаем, что BF / BC = AF / AE.
6. Используя равенство BC = AK / 2, можно записать: BF / (AK / 2) = AF / AE.
7. Упрощая выражение, получим: BF = 2AF.
8. Так как Ф – середина отрезка AC, то BF = CF.
9. Значит, CF = 2AF.
10. Рассмотрим треугольник ACF. Так как точка F – середина отрезка AC, то отрезок CF делит его пополам.
11. Значит, CK = CF = 2AF.
12. Сравнивая полученное равенство с пунктом 8, получаем, что CD = EK.
Таким образом, доказано, что CD = EK.