На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка P так, что B1P:PB = 5:1, точка S – середина ребра A1D1. Длины рёбер BC и AA1 равны 10 и 12 соответственно. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью SPC1 является равнобедренной трапецией.

Для доказательства того, что сечение параллелепипеда плоскостью SPC1 является равнобедренной трапецией, нам нужно показать, что прямые SC1 и AB1 одновременно параллельны и равны по длине прямым PC1 и SB1.

Шаг 1: Найдем координаты точек P, S, C1:
Возьмем точку P на ребре B1B так, что B1P:PB = 5:1. Пусть B1B = x. Тогда BP = x/6 и B1P = 5x/6.
Так как S – середина ребра A1D1, то AS = SD = 12/2 = 6.
Так как ребро ABCD1A1B1C1D1 является прямоугольником, то AD1 || B1C1. Следовательно, прямая SB1 || AD1 и SB1 = AD1 = 6.
Также прямая PC1 || AB1 и PC1 = AB1 = x.

Шаг 2: Докажем параллельность прямых SC1 и AB1:
Пусть точка M – середина ребра BC. Так как параллелограмм ABCD – прямоугольник, то AM = MC = 10/2 = 5.
Также SD = 6 и PC1 || AB1. Из двух треугольников SDC1 и ABC1 имеем:
SD/AB1 = SC1/AC1 = DC1/BC1.
Так как SC1/AC1 = DC1/BC1, а AC1 = AM + MC = 5 + 5 = 10, то SC1/10 = DC1/BC1.
Так как DC1/BC1 = B1C1/BC1 = 1/6 (поскольку B1C1 = B1B = x), то SC1/10 = 1/6.
Поэтому SC1 = 10/6 = 5/3.

Шаг 3: Докажем равенство длин прямых PC1 и SB1:
Так как PC1 || AB1 и PM || AB (так как M – середина ребра BC), то треугольники PMC1 и AMB1 подобны.
Из подобия треугольников получаем: PC1/AB1 = PC/AB = PM/AM.
Так как PM = 5/2 (так как AM = 5 и SD = 6), AM = 5 и AB = 12, то PM/AM = 5/2 / 5 = 1/2.
Поэтому PC1/AB1 = 1/2.
Так как AB1 = x, то PC1 = x/2.

Шаг 4: Заключение:
Мы получили, что SC1 = 5/3 и PC1 = x/2. Значит, эти прямые равны по длине. Также мы доказали, что SC1 || AB1, следовательно, сечение параллелепипеда плоскостью SPC1 является равнобедренной трапецией.