Пусть плоскость треугольника МРК имеет уравнение ax + by + cz + d = 0. Так как МКР || АВС, то вектор нормали плоскости МРК будет параллелен векторам нормалей плоскостей АВС и МКР, то есть он будет иметь координаты (a, b, c) и будет пропорционален вектору (7, 0, -3).
Площадь треугольника АВС равна 100 см², поэтому площадь проекции треугольника МРК на плоскость АВС, обозначим её за S`, будет равна 100 см².
S` = S * (скалярное произведение нормалей плоскостей МРК и АВС) / |(0, 0, -1)|²,
где S – площадь треугольника МРК.
Проекция треугольника МРК на плоскость АВС будет треугольник, подобный треугольнику МКР в отношении сторон.
Так как OK:CК=7:3, значит, сторона МK треугольника МКР составляет 7/10 от стороны СМ треугольника СКМ.
То есть, пропорция сторон треугольников МРК и СКМ будет следующей: МК/СК = 7/10.
Значит, площадь треугольника Мрк составляет 7/10 от площади треугольника СКМ.
Обозначим площадь треугольника СКМ за S1. Тогда S = 7/10 * S1.
Подставим значение площади треугольника в формулу площади проекции и решим уравнение относительно S1:
100 = 7/10 * S1 * (7*0 – 0*(-3)) / (0² + 0² + (-1)²)
100 = 7/10 * S1 * 0 / 1
0 = 0
Таким образом, система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Получается, что плоскость треугольника МРК может быть любой плоскостью, параллельной плоскости АВС и МКР.