На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и L соответственно, AL и CK пересекаются в точке P. Площади треугольников APC, KBL и KPL равны 5, 3 и 1 соответственно.Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть S обозначает площадь треугольника ABC. Заметим, что площадь треугольника BPC также равна 5, так как это площадь дополнения к ABC.

Также обозначим площади треугольников AKP, BLP и KPC через a, b и c соответственно.

Поскольку треугольники AKP и KPL имеют общую сторону KP, и их площади относятся как 5 к 1, то отношение их площадей равно √5/√1 = √5. То есть a/b = √5.

Аналогично, треугольники BLP и KPL имеют общую сторону LP, и отношение их площадей равно √3/√1 = √3. То есть b/c = √3.

Теперь посмотрим на треугольники AKP и APC. Они имеют общую сторону AP, и отношение их площадей равно 5/5 = 1. То есть a/(a + c) = 1. Отсюда следует, что a = a + c, и следовательно, c = 0.

Таким образом, треугольник KPC имеет площадь 0, а значит, все его стороны должны пересекаться в одной точке. Из этого следует, что точка P – это точка пересечения продолжений сторон AB и BC.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников KBL и BPC: S = 3 + 5 = 8. Ответ: 8.