На сторонах АВ и BС треугольника АВС отмечены точки S и Т так что AS = ST. На продолжении отрезка ЅТ за точку T отмечена точка R такая, что TR = BS. Оказалось, что BR || CЅ. Докажите, что АТ – биссектриса угла ВАС.

Дано:
1. В треугольнике ABC точки S и T на сторонах AB и BC соответственно таковы, что AS = ST.
2. Точка R находится на продолжении отрезка ST за точку T и TR = BS.
3. BR || CS.

Нам нужно доказать, что AT – биссектриса угла BAC.

Доказательство:
1. Поскольку AS = ST, то углы SAT и STA равны между собой (по теореме о равных углах, образованных пересекающимися хордами в окружности).
2. Поскольку BR || CS, то углы BAC и SCT равны между собой (по теореме о параллельных линиях и пересекающихся хордах).
3. Из угловой суммы в треугольнике SCT следует, что углы STA и SCT в сумме равны углу SAC.
4. Из пункта 1 и пункта 3 следует, что угол SAC делится точкой T на два равных угла SAT и TAC.
5. Следовательно, AT – биссектриса угла BAC.

Таким образом, доказано, что AT – биссектриса угла BAC.