На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки К и в соответственно, AL и СК пересекаются в точке Р. Площади треугольников АPC, KBL и KPL и равны 5, 3 и 1 соответственно. Найдите площадь треугольника АВС.

Пусть площадь треугольника ABS равна S. Тогда площадь треугольника ABC равна S + 5 + 3 + 1 = S + 9.
Таким образом, нам нужно найти значения S + 9.

Площадь треугольника APC равна половине площади треугольника ABC, то есть S/2.
Аналогично, площадь треугольника KBL равна половине площади треугольника ABS, то есть S/2.
Площадь треугольника KPL равна половине площади треугольника PKC, то есть (S + 9)/2.

Заметим, что площадь треугольника PKC равна площади треугольника ABC минус сумма площадей треугольников APC и KBL:
(S + 9)/2 = S + 9 – S/2 – S/2
(S + 9)/2 = S + 9 – S
(S + 9)/2 = 9
S + 9 = 18
S = 9

Таким образом, площадь треугольника ABC равна S + 9 = 9 + 9 = 18. Итак, площадь треугольника АВС равна 18.