На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки М и N так, что BM : MA = 3 : 2, BN : NC = 4 : 1. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке К. В каком отношении прямая ВК делит сторону АС?

Чтобы найти отношение, в котором прямая ВК делит сторону AC, нужно найти отношение длин отрезков AK и KC.

Для начала определим расположение точки K. Рассмотрим отношения BM:MA и BN:NC. Учитывая, что BM:MA = 3:2 и BN:NC = 4:1, можно сказать, что точка М лежит на прямой AB внутри отрезка, отмеченного в отношении 3:2 от точки B, а точка N лежит на прямой BC внутри отрезка, отмеченного в отношении 4:1 от точки C.

Затем проведем прямую ВК, которая пересечет прямую АС в точке P. Поскольку VK проходит через точки B и N на стороне BC, а также через точки B и M на стороне AB, точка P является точкой пересечения отрезков AN и CM.

Теперь применим теорему Безузла: AN/CN = AM/BM. Из условия известно, что BM:MA = 3:2 и BN:NC = 4:1. Заменяя в формуле соответствующие отношения, получаем:

AN/CN = 2/3 * 4/1 = 8/3.

Таким образом, отношение, в котором прямая ВК делит сторону AC, равно 8:3.

Ответ: ВК делит сторону AC в отношении 8:3.