Пусть точка G – середина отрезка EF. Так как AG является медианой треугольника AEF, то она является биссектрисой угла EAF и перпендикулярна стороне EF (по свойствам биссектрис углов). Обозначим точку пересечения AG с прямой CD как H.
Таким образом, медиана AG является высотой треугольника AEF, а отрезок AH равен половине стороны CD.
Треугольник AEF является равнобедренным, так как AE = AF (длины отрезков), а угол EAF = 30° (и он также равен углу EHF, так как они смежные).
Так как треугольник AEF равнобедренный, то FHE = 30° (угол при вершине у равнобедренного треугольника).
Далее, так как треугольники AHD и EHF подобны, то у них соответственные углы также равны, т.е. HAD = HEF = 30°.
Таким образом, у треугольника AHD угол HDA равен 90° – 30° – 30° = 30°.
Следовательно, треугольник AHD также является равнобедренным, и отрезок DH равен отрезку AH.
Зная, что AH равен половине стороны CD, а DH равен AH, получаем, что сторона CD равна удвоенному отрезку DH.
Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон. Пусть длина стороны CD равна x, тогда длина стороны BC равна 2x (так как BC параллельна AD).
Площадь прямоугольника ABCD равна S = x * 2x = 2x^2.
Задача сводится к минимизации площади прямоугольника, поэтому нам нужно найти такое значение x, при котором площадь будет минимальной.
Так как точки E и F выбраны на сторонах BC и CD, то x должен быть на отрезке BC.
Поскольку треугольник AHD – равнобедренный и у него угол HDA = 30°, следовательно угол AHD = (180° – 30° – 30°) / 2 = 60°. Это означает, что треугольник AHD является равносторонним.
Таким образом, отрезок DH равен стороне AD, которая равна AE + AF = 23 + 40 = 63.
Следовательно, сторона CD равна 2 * DH = 2 * 63 = 126.
Тогда площадь прямоугольника ABCD равна S = 126 * 2 * 126 = 252 * 126 = 31752.
Таким образом, наименьшая площадь прямоугольника ABCD равна 31752 квадратных единиц.