Для решения данной задачи воспользуемся геометрическим подходом.
1. Обозначим вершины параллелограмма как A, B, C, D, а центры квадратов, построенных на его сторонах, как P, Q, R, S (см. рисунок).
2. Рассмотрим трегольник ABR. Он является прямоугольным, так как параллелограмм ABCD – прямоугольный. Пусть O – середина стороны AB. Тогда AO = BO (т.к. середина отрезка делит его пополам), и угол BOA прямой.
3. Заметим, что вершина P находится на продолжении стороны BA, и BP = AB (так как P – центр квадрата на стороне AB). Точно так же, вершина Q лежит на продолжении стороны BC, R – на продолжении стороны CD и S – на продолжении стороны AD.
4. Из предыдущего шага следует, что BP = BQ = CR = CS = AB.
5. Теперь рассмотрим треугольник OPQ. Он также прямоугольный (так как O находится на продолжении стороны BA и BP = BQ). Так же как ранее, мы можем доказать, что PQ = RQ = PS = QR = PQ = RS = QC = QS = AC.
6. Получается, что треугольник OPQ равносторонний и с прямым углом при O.
7. Учитывая, что O – центр этого равностороннего треугольника, а его стороны равны сторонам квадратов PQR и RQC, заключаем, что O также является центром квадрата PQRС.
Таким образом, центры квадратов P, Q, R, S являются вершинами еще одного квадрата OPRQ.