На стороне AC треугольника ABC выбрана точка K так, что треугольники ABK и CBK подобны, причём стороны треугольника ABK вдвое больше сторон треугольника CBK . а) Докажите, что треугольник ABC – прямоугольный б) Пусть медиана AM треугольника ABC пересекает BK в точке O . Найдите отношение AO:OM .

а) Докажем, что треугольник ABC прямоугольный.

Из условия задачи, треугольники ABK и CBK подобны, причём стороны треугольника ABK вдвое больше сторон треугольника CBK. Обозначим длину отрезка AB как 2x, а длину отрезка CB как x.

Так как треугольники ABK и CBK подобны, то отношение сторон AB:CB равно отношению сторон AK:BK. По условию, стороны AB вдвое больше сторон CB, поэтому:

2x/x = AK/BK
2 = AK/BK
BK = AK/2

Рассмотрим треугольник ABC. По условию задачи, сторона ABK равна AK, а сторона CBK равна BK. Поэтому сторона AC равна AK + BK = AK + AK/2 = 3AK/2.

Треугольник ABC является прямоугольным, если выполняется теорема Пифагора: гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.

В нашем случае, гипотенуза AC равна 3AK/2, катет AB равен 2x, а катет CB равен x. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:

(3AK/2)^2 = (2x)^2 + x^2
9AK^2/4 = 4x^2 + x^2
9AK^2/4 = 5x^2
AK^2 = (4/9) * 5x^2
AK^2 = (20/9) * x^2

Теперь рассмотрим треугольник ABK. По теореме Пифагора, выполняется следующее соотношение:

AK^2 = (2x)^2 + x^2
AK^2 = 4x^2 + x^2
AK^2 = 5x^2

Сравнивая это соотношение с предыдущим выражением для AK^2, получаем:

(20/9) * x^2 = 5x^2
20x^2 = 45x^2
45x^2 – 20x^2 = 0
25x^2 = 0

Так как x не может быть равным 0, получаем противоречие.

Значит, предположение о том, что треугольник ABC не является прямоугольным, неверно. Следовательно, треугольник ABC – прямоугольный.

б) Найдем отношение AO:OM.

Опять рассмотрим треугольник ABC. Отрезок AM – медиана треугольника ABC. Она делит сторону BC пополам и проходит через точку K. Поэтому отрезок AM равен AK + KM.

Так как сторона ABK вдвое больше стороны CBK, то AK = 2BK. Подставим это в предыдущее выражение:

AM = AK + KM
AM = 2BK + KM

Рассмотрим треугольник ABK. По теореме Пифагора, выполняется следующее соотношение:

AK^2 = (2x)^2 + x^2
AK^2 = 4x^2 + x^2
AK^2 = 5x^2

Теперь рассмотрим треугольник CBK. Так как сторона ABK вдвое больше стороны CBK, то BK = AK/2. Подставим это в предыдущее выражение:

AM = 2BK + KM
AM = 2(AK/2) + KM
AM = AK + KM

Таким образом, отрезок AM равен AK + KM, и мы уже знаем, что AK равно 5x.

Отношение AO:OM равно:

AO:OM = AK:KM
AO:OM = 5x:KM

К сожалению, дано недостаточно информации для определения точного значения отношения AO:OM. Мы можем только сказать, что это отношение равно 5x:KM.