На стороне АС треугольника АВС нашлась такая точка D, что DB=DC. Медиана AM и отрезок BD пересекаются в точке X. Оказалось, что AC=2AD+2DX. Докажите, что Х середина отрезка АМ

Обозначим середину стороны BC как E. Также пусть точка DX пересекает линию AM в точке Y. Мы хотим доказать, что X – середина отрезка AM.

Шаг 1: Докажем, что точки A, X и E лежат на одной прямой.
Сначала заметим, что точка D – точка пересечения медианы AM и линии симметрии точки C относительно оси BC. Обозначим точку M’ как образ точки M при отражении C. Так как D – пересечение медианы и отраженной линии симметрии, то точка D делит отрезок AM’ в отношении 2:1.

Затем заметим, что точка B – середина отрезка AM’ (так как M’ является образом для M при отражении относительно BC). Таким образом, отрезок BD делит медиану AM’ в отношении 1:1.

Из этих двух фактов следует, что точки X, B и E лежат на одной прямой (по теореме Ван Аубеля).

Шаг 2: Докажем, что AC = 2AD + 2DX влечет AX = XC.
Имеется следующее уравнение: AC = 2AD + 2DX.

Мы знаем, что точки X, B и E лежат на одной прямой. Так как BE является медианой треугольника ABC, то точка E делит отрезок AC в отношении 2:1 (по свойству медианы).

Таким образом, AE = 2EX и CE = 2XD.

Распишем уравнение AC = 2AD + 2DX, заменив AE на 2EX и CE на 2XD:
2AX + 2XD = 2AD + 2DX.
2AX = 2AD.

Очевидно, что AX = AD и, следовательно, точка X является серединой отрезка AM.