Пусть площадь основания конуса равна S, а площадь боковой поверхности равна L.
Формула для площади основания конуса: S = πr^2, где r – радиус основания.
Формула для площади боковой поверхности конуса: L = πrl, где l – образующая конуса.
По условию задачи, площадь основания конуса в четыре раза меньше площади боковой поверхности, поэтому S = L/4.
Подставим формулы в это равенство: πr^2 = πrl/4.
Упростим выражение, разделив обе части на πr: r = l/4.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике со сторонами r, l и h (высота конуса) имеем l^2 = r^2 + h^2.
Подставим выражение для r из предыдущего пункта: l^2 = (l/4)^2 + h^2.
Решим полученное уравнение: l^2 = l^2/16 + h^2.
Упростим: 16l^2 = l^2 + 16h^2.
Получаем уравнение: 15l^2 = 16h^2.
Выразим h через l: h = sqrt(15/16) * l.
Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный радиусом основания, образующей и высотой конуса. Косинус угла между образующей и радиусом может быть выражен как h/l.
Подставим значения h и l из предыдущих пунктов и упростим выражение: cos(θ) = (sqrt(15/16) * l) / l = sqrt(15/16).
Таким образом, косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания равен sqrt(15/16).