Для решения этой задачи нам сначала нужно найти точки экстремума функции, а затем исследовать их характер.
Шаги решения:
1. Возьмем первую производную функции y = 4x – 8cos(x).
2. Найдем производную по x, используя правила дифференцирования:
y’ = 4 – 8(-sin(x)) = 4 + 8sin(x).
3. Равенство y’ = 0 поможет найти точки экстремума. Решим уравнение:
4 + 8sin(x) = 0.
4. Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
8sin(x) = -4.
5. Разделим обе части уравнения на 8:
sin(x) = -1/2.
6. Используем таблицу значений для нахождения угла, у которого синус равен -1/2:
x = π/6 или x = 5π/6.
7. Нам дано, что x находится в интервале [-π, π], поэтому рассматриваем только эти два значения x.
8. Чтобы определить характер точек экстремума, найдем вторую производную функции.
9. Найдем вторую производную по x:
y” = 8cos(x).
10. Оценим знак второй производной на значениях x = π/6 и x = 5π/6:
– Для x = π/6: y”(π/6) = 8cos(π/6) = 8 * (√3/2) > 0.
– Для x = 5π/6: y”(5π/6) = 8cos(5π/6) = 8 * (-√3/2) < 0.
11. Знак второй производной определяет характер точек экстремума:
- Для x = π/6: y''(π/6) > 0, следовательно, это точка минимума.
– Для x = 5π/6: y”(5π/6) < 0, следовательно, это точка максимума.
Таким образом, точка экстремума функции y = 4x − 8 cos x при x = π/6 является точкой минимума, а точка экстремума при x = 5π/6 является точкой максимума.