Найдите меньшую диагональ правильного многоугольника, сторона кото- рого равна 10 см, если многоугольник: а) пятиугольник; б) шестиугольник; г) восьмиугольник; д) двенадцатиугольник; е) восемнадцатиугольник.

Для решения этой задачи, нам необходимо знать, как вычислить длину диагонали правильного многоугольника.

Шаги решения:

а) Пятиугольник:
В правильном пятиугольнике с одинаковыми сторонами все углы равны 108 градусам. Пусть длина стороны p равна 10 см. Диагональ можно найти с помощью формулы:
Диагональ = 2 * p * sin(α/2), где α – угол между сторонами.
Угол между сторонами в пятиугольнике равен 180 – 108 = 72 градуса.
Таким образом, длина диагонали пятиугольника будет:
Диагональ = 2 * 10 * sin(72/2) = 2 * 10 * sin(36) ≈ 17.32 см.

б) Шестиугольник:
В правильном шестиугольнике с одинаковыми сторонами все углы равны 120 градусам. Угол между сторонами в шестиугольнике равен 180 – 120 = 60 градусов.
Длина диагонали шестиугольника будет:
Диагональ = 2 * 10 * sin(60/2) = 2 * 10 * sin(30) = 2 * 10 * 0.5 ≈ 10 см.

г) Восьмиугольник:
В правильном восьмиугольнике с одинаковыми сторонами все углы равны 135 градусам. Угол между сторонами в восьмиугольнике равен 180 – 135 = 45 градусов.
Длина диагонали восьмиугольника будет:
Диагональ = 2 * 10 * sin(45/2) = 2 * 10 * sin(22.5) ≈ 14.14 см.

д) Двенадцатиугольник:
В правильном двенадцатиугольнике с одинаковыми сторонами все углы равны 150 градусам. Угол между сторонами в двенадцатиугольнике равен 180 – 150 = 30 градусов.
Длина диагонали двенадцатиугольника будет:
Диагональ = 2 * 10 * sin(30/2) = 2 * 10 * sin(15) ≈ 5.24 см.

е) Восемнадцатиугольник:
В правильном восемнадцатиугольнике с одинаковыми сторонами все углы равны 160 градусам.
Угол между сторонами в восемнадцатиугольнике равен 180 – 160 = 20 градусов.
Длина диагонали восемнадцатиугольника будет:
Диагональ = 2 * 10 * sin(20/2) = 2 * 10 * sin(10) ≈ 3.42 см.

Таким образом, мы нашли меньшую диагональ для каждого из многоугольников.