Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями 9 и 14 см вокруг меньшей боковой стороны, равной 12 см.

Для решения задачи нам необходимо найти площадь полной поверхности и объем усеченного конуса.

Шаг 1: Рассчитаем высоту трапеции.
Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В данной задаче, гипотенуза катетов 9 и 14 см, обозначим ее как c. Тогда:
c² = 9² + 14²
c² = 81 + 196
c² = 277
c ≈ 16.64 см

Шаг 2: Рассчитаем радиусы оснований конуса.
Основание конуса, образованное меньшей боковой стороной трапеции, будет окружностью с радиусом (r₁) равным половине длины этой стороны.
r₁ = 12 / 2
= 6 см

Основание конуса, образованное большей боковой стороной трапеции, будет окружностью с радиусом (r₂) равным половине длины этой стороны.
r₂ = (9 + 14) / 2
= 11.5 см

Шаг 3: Расчитаем площадь полной поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.
Площадь поверхности основания конуса равна πr₁².
Площадь поверхности большего основания конуса равна πr₂².
Площадь боковой поверхности конуса равна π(r₁ + r₂)ℓ, где ℓ – образующая конуса, которую мы можем найти, используя теорему Пифагора:
ℓ = √(h² + (r₂-r₁)²)

Подставим данные в формулу:
Площадь полной поверхности конуса = πr₁² + πr₂² + π(r₁ + r₂)ℓ

Площадь поверхности конуса = π*(6)² + π*(11.5)² + π*(6 + 11.5)*√(16.64² + (11.5-6)²)

Шаг 4: Рассчитаем объем усеченного конуса.
Объем конуса равен (1/3)π(R₁² + R₁R₂ + R₂²)h, где h – высота усеченного конуса.
Подставим данные в формулу:
Объем усеченного конуса = (1/3)π(6² + 6*11.5 + 11.5²)*16.64 см³

Таким образом, мы находим площадь полной поверхности усеченного конуса и его объем.