Даны три вектора p, q и условия в задаче о скалярном произведении. Мы должны найти значение скалярного произведения векторов p и q.
1. Пусть a, b и c – компоненты векторов p и q.
2. По условию задачи, p = a + b и q = a – b + c.
3. Найдем квадрат длины векторов a, b и c.
|a|^2 = a^2 = 2^2 = 4,
|b|^2 = b^2 = 5^2 = 25,
|c|^2 = c^2 = 7^2 = 49.
4. Так как c перпендикулярно a, то их скалярное произведение равно нулю: ac = 0.
5. Также из условия задачи cb = 60.
6. Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов:
p ⋅ q = (a + b) ⋅ (a – b + c) = a ⋅ a – a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ a – b ⋅ b + b ⋅ c.
7. Заметим, что у нас есть квадраты длин векторов и выражение ac.
Мы можем переписать скалярное произведение следующим образом:
p ⋅ q = a^2 – b^2 + a ⋅ c + a ⋅ c + 60.
8. Подставляем значения, полученные в шагах 3, 4 и 5:
p ⋅ q = 4 – 25 + 0 + 60 = 39.
Ответ: Скалярное произведение векторов p и q равно 39.