Задача состоит в нахождении высоты и площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды.
Шаги решения:
1. Вспомним, что в правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани равны и имеют форму прямоугольного треугольника. Поэтому для нахождения высоты нам понадобится применить теорему Пифагора.
2. Обозначим сторону основания пирамиды как a. По условию, a = 30 см.
3. Запишем уравнение теоремы Пифагора для одного треугольника, образующего боковую грань пирамиды: h^2 + (a/2)^2 = a^2, где h – высота.
4. Раскроем скобки и упростим уравнение: h^2 + (30/2)^2 = 30^2. Получим h^2 + 15^2 = 30^2.
5. Вычислим квадраты: h^2 + 225 = 900.
6. Перенесем 225 на другую сторону уравнения: h^2 = 900 – 225.
7. Вычислим разность: h^2 = 675.
8. Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: h = √675.
9. Проконтролируем, что √675 не является целым числом. Значит, ответом будет корень из 675.
10. Округлим результат до двух знаков после запятой: h ≈ 25,98 см (округляем до 25,98 см).
11. Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно найти площадь ее основания и прибавить к ней площадь боковой поверхности.
12. Площадь основания равна площади квадрата со стороной a: S_осн = a^2 = 30^2.
13. Проконтролируем, что получилось четырехзначное число: S_осн = 900.
14. Площадь боковой поверхности можно найти, зная площадь одного из боковых треугольников и количество таких треугольников.
15. Площадь одного бокового треугольника равна (1/2) * a * h, где a – сторона основания, а h – высота.
16. Подставим известные значения: S_треуг = (1/2) * 30 * 25,98.
17. Вычислим площадь: S_треуг ≈ 389,7 см^2 (округляем до 389,7 см^2).
18. Учитывая, что боковых треугольников в пирамиде 4, площадь боковой поверхности будет составлять 4 * S_треуг.
19. Подставим значение S_треуг: S_бок = 4 * 389,7.
20. Вычислим площадь: S_бок ≈ 1558,8 см^2 (округляем до 1558,8 см^2).
21. Найдем площадь полной поверхности, просуммировав площадь основания и площадь боковой поверхности: S_пол = S_осн + S_бок.
22. Подставим значения: S_пол = 900 + 1558,8.
23. Вычислим площадь полной поверхности: S_пол ≈ 2458,8 см^2 (округляем до 2458,8 см^2).
Ответ: Высота пирамиды примерно равна 25,98 см, площадь полной поверхности – примерно 2458,8 см^2.