Сначала построим координатную систему, где вершина A будем иметь координаты (0, 0, 0). Поскольку единичный куб, длина одной стороны будет равна 1. Точка B будет иметь координаты (1, 0, 0), точка C – (0, 1, 0), а точка D – (0, 0, 1).
Плоскость, проходящая через вершины B и D, задается уравнением x + y – 2z = 0. Точка M находится на ребре CC1, значит она может быть представлена как (0, t, 0), где t – координата, отличная от нуля. Из условия СМ = 2СМ получаем, что позиции точки M должны быть в отношении 1:2. То есть, М должна лежать на отрезке от С1 до C, и расстояние от С1 до М равно половине расстояния от С до C1.
Проведем прямую через С и C1, она задается уравнением y = 1 – x. Расстояние между этой прямой и точкой (0, t, 0) равно модулю разности значений Y-координат. Расстояние равно |t – (1-t)| = 2t – 1. Половина этого расстояния равна (2t – 1) / 2 = t – 0.5.
Теперь, чтобы найти координату t, для которой это условие будет выполнено, приравняем t – 0.5 à 2 * (1 – t). Решив это уравнение, получим t = 2/3.
Таким образом, точка M имеет координаты (0, 2/3, 0). Подставляя эту координату в уравнение плоскости, получаем: x + y – 2z = 0. Заменяя x, y, z на соответствующие значения, получаем 0 + 2/3 – 2 * 0 = 0 + 2/3 = 2/3.
Таким образом, площадь сечения единичного куба плоскостью, проходящей через вершины B и D и точку M будет равна 2/3.
Шаги решения:
1. Построить координатную систему.
2. Выразить уравнение плоскости, проходящей через вершины B и D.
3. Определить координаты точки M на ребре CC1, удовлетворяющей условию СМ = 2С1М.
4. Рассчитать расстояние от точки M до прямой, проходящей через С и C1.
5. Найти координату t для точки M, решив уравнение.
6. Подставить координаты точки M в уравнение плоскости и вычислить площадь сечения.