Пусть треугольная пирамида имеет основание ABC и вершину O, V – середина бокового ребра DA, то D – точка деления бокового ребра BC в отношении 9:10, считая от вершины O.
Объем треугольной пирамиды равен 38, следовательно, объем треугольной пирамиды ABCO равен 38.
Плоскость, проходящая через сторону основания ABC, также пересекает противоположное боковое ребро DA в точке V.
Заметим, что пирамида ABCO делится этой плоскостью на две пирамиды.
Обозначим через h1 и h2 высоты этих двух пирамид, через V1 и V2 – их объемы.
Поскольку плоскость делит боковое ребро DA в отношении 9:10, то h1/h2 = 9/10.
Следовательно, h2 = (10/9) * h1.
Объем пирамиды ABCO выражается через объемы V1 и V2 следующим образом: V1 + V2 = V, где V – объем пирамиды ABCO.
Подставим V1 и V2: V1 + V2 = (1/3) * S * h1 + (1/3) * S * (10/9) * h1 = (1/3) * S * (1 + 10/9) * h1 = (19/27) * S * h1, где S – площадь треугольника ABC.
Таким образом, мы получили, что V = (19/27) * S * h1.
Исходя из условия задачи, V = 38, следовательно, (19/27) * S * h1 = 38.
Так как мы хотим найти больший из объемов V1 и V2, нужно найти максимальное значение h1 при условии, что (19/27) * S * h1 = 38.
Умножим обе части уравнения на 27/19: h1 = (27/19) * (38/S).
Заметим, что объем V1 равен (1/3) * S * h1, а объем V2 равен (1/3) * S * (10/9) * h1 = (10/27) * S * h1.
Таким образом, чтобы найти больший из объемов V1 и V2, мы должны найти максимальное значение (10/27) * S * h1 при условии, что h1 = (27/19) * (38/S).
Мы можем заметить, что (10/27) * S * h1 = (10/27) * S * (27/19) * (38/S) = (380/19).
Следовательно, больший из объемов V1 и V2 равен (380/19)