Для начала рассмотрим равенство AB:BC:CA=sinC:sinA:sinB. Заметим, что равенство может быть доказано с помощью теоремы синусов.
Рассмотрим треугольник ABC. Пусть a, b, c – длины сторон AB, BC, CA соответственно, а A, B, C – соответствующие углы. Тогда теорема синусов утверждает, что:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R,
где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.
Теперь рассмотрим равенство AB:BC:CA=sinC:sinA:sinB. Используя теорему синусов, можем записать:
AB/sinA = BC/sinB = CA/sinC = 2R.
Заметим, что это равенство следует из равенства a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. Таким образом, равенство AB:BC:CA=sinC:sinA:sinB справедливо.
Однако, для равенства sinA:sinB:sinC=3:5:7, требовалось бы чтобы AB:BC:CA=3:5:7, что не всегда верно. В общем случае стороны треугольника и пропорции между синусами углов не имеют прямой связи, поэтому такое равенство невозможно.
Таким образом, равенство sinA:sinB:sinC=3:5:7 не справедливо для произвольного треугольника ABC.